Hardy inequalities and dynamic instability of singular Yamabe metrics

  • Adriano Pisante

    Department of Mathematics, University of Rome 'La Sapienza’, P.le Aldo Moro 5, 00185 Roma, Italy

Abstract

We study the Cauchy problem

for nonnegative functions . Here , is the Sobolev exponent of the embedding and is a time independent positive solution with nonempty singular set , e.g. a distributional solution associated to a singular Yamabe metric on . We show that, if is a finite set, then problem () has a weak solution which is smooth for positive time. Hence, time independent singular solutions may be unstable and the Cauchy problem () may have infinitely many weak solutions. A similar weaker result is proved for any nonnegative distributional solution when is a compact set.

Résumé

Nous étudions le problème de Cauchy

pour fonctions nonnégatives . , est la puissance critique pour l'injection de Sobolev et est une solution stationnaire singulière, par exemple une solution distributionelle associée à une métrique de Yamabe singulière sur . Nous montrons que, si est un ensemble fini, alors le problème () a une solution faible qui est régulière pour temps positives. Par conséquent, solutions stationnaires singulières peuvent être instables et le problème de Cauchy () peut avoir un nombre infini de solutions faibles. De plus, nous montrons un rèsultat similaire pour chaque solution distributionelle avec ensemble singulier compact.

Cite this article

Adriano Pisante, Hardy inequalities and dynamic instability of singular Yamabe metrics. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 23 (2006), no. 5, pp. 591–628

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2005.05.006