Hardy inequalities and dynamic instability of singular Yamabe metrics

Abstract

We study the Cauchy problem

for nonnegative functions $u:{\mathbb{R}}^N\times (0,+\infty )\to {\mathbb{R}}^{+}$. Here $N\ge 3$, $\sigma +1=2^{\ast }=\frac{2N}{N-2}$ is the Sobolev exponent of the embedding $H^1({\mathbb{R}}^N)\hookrightarrow L^{2^{\ast }}({\mathbb{R}}^N)$ and $u_0=U$ is a time independent positive solution with nonempty singular set $\Sigma =\mathrm{Sing}(U)$, e.g. a distributional solution associated to a singular Yamabe metric on $S^N$. We show that, if $\Sigma$ is a finite set, then problem ($\mathrm{P}$) has a weak solution which is smooth for positive time. Hence, time independent singular solutions may be unstable and the Cauchy problem ($\mathrm{P}$) may have infinitely many weak solutions. A similar weaker result is proved for any nonnegative distributional solution $U$ when $\Sigma$ is a compact set.

Résumé

Nous étudions le problème de Cauchy

pour fonctions nonnégatives $u:{\mathbb{R}}^N\times (0,+\infty )\to {\mathbb{R}}^{+}$. $N\ge 3$, $\sigma +1=2^{\ast }=\frac{2N}{N-2}$ est la puissance critique pour l'injection de Sobolev $H^1({\mathbb{R}}^N)\hookrightarrow L^{2^{\ast }}({\mathbb{R}}^N)$ et $u_0=U$ est une solution stationnaire singulière, par exemple une solution distributionelle associée à une métrique de Yamabe singulière sur $S^N$. Nous montrons que, si $\Sigma =\mathrm{Sing}(U)$ est un ensemble fini, alors le problème ($\mathrm{P}$) a une solution faible qui est régulière pour temps positives. Par conséquent, solutions stationnaires singulières peuvent être instables et le problème de Cauchy ($\mathrm{P}$) peut avoir un nombre infini de solutions faibles. De plus, nous montrons un rèsultat similaire pour chaque solution distributionelle $U$ avec ensemble singulier compact.