Essential Dynamics for Lorenz maps on the real line and the Lexicographical World

Abstract

In this paper we describe some topological and geometric properties of the set of sequences $\mathrm{LW}=\{(a,b)\in {\Sigma }_0\times {\Sigma }_1;a\le {\sigma }^n(a)\le b,a\le {\sigma }^n(b)\le b,\forall n\in \mathbb{N}\}$, which essentially represents all the allowed dynamics for piecewise continuous increasing maps with one discontinuity. In particular, we describe the first main bifurcations in $LW$ which generate non-trivial dynamics, and we study (fractal) geometric properties of $LW$ and of the phase spaces ${\Sigma }_{a,b}$ associated to it.

Résumé

Dans ce travail nous décrivons quelques proprietés topologiques et géometriques de l'ensemble de suites $\mathrm{LW}=\{(a,b)\in {\Sigma }_0\times {\Sigma }_1;a\le {\sigma }^n(a)\le b,a\le {\sigma }^n(b)\le b,\forall n\in \mathbb{N}\}$, que répresentent essentiellement toutes les dynamiques permises pour des fonctions continues et croissantes par morceaux avec un point de discontinuité. En particulier, on décrit les premières bifurcations dans $LW$ qui produisent des dynamiques non-triviales et nous étudions des proprietés géometriques (fractales) de $LW$ et des espaces de phase ${\Sigma }_{a,b}$ associés.