Second order parabolic systems, optimal regularity, and singular sets of solutions

Abstract

We present a new, complete approach to the partial regularity of solutions to non-linear, second order parabolic systems of the form

In the first part we introduce the $A$-caloric approximation lemma, a parabolic analogue of the harmonic approximation lemma of De Giorgi [Sem. Scuola Normale Superiore Pisa (1960–1961); Lectures in Math., ETH Zürich, Birkhäuser, Basel, 1996] in the version of Simon. This allows to prove optimal partial regularity results for solutions in an elementary way, under minimal and natural assumptions. In the second part we provide estimates for the parabolic Hausdorff dimension of the singular sets of solutions; the proof makes use of parabolic fractional Sobolev spaces.

Résumé

Nous présentons une nouvelle approche complète auprès de la regularité partielle des solutions des systèmes paraboliques, non-linéaires, de la deuxième ordre de la forme

Dans une première partie nous introduisons le lemme d'approximation $A$-calorique, un analogue parabolique du lemme d'approximation harmonique de De Giorgi [Sem. Scuola Normale Superiore Pisa (1960–1961) ; Lectures in Math., ETH Zürich, Birkhäuser, Basel, 1996] d'après la version Simon. Cela permet de prouver des résultats optimales de la regularité partielle pour des solutions d'une façon elementaire sous des hypothèses minimales et naturelles. Dans la deuxième partie nous donnons des estimations des ensembles singuliers des solutions pour la dimension parabolique de Hausdorff ; la preuve se sert des espaces paraboliques fractionnaires de Sobolev.