Minimal interface criterion for phase transitions in mixtures of Cahn–Hilliard fluids

Abstract

In this paper we extend the Van der Waals–Cahn–Hilliard theory of phase transitions to the case of a mixture of $n$ non-interacting fluids. By describing the state of the mixture as given by a vector density function $u=(u_1,\dots ,u_n)$, the problem consists in studying the asymptotic behaviour as $\epsilon \to 0^{+}$ of minimizers of the energy functionals:

under the volume constraint ${\int }_{\mathrm{\Omega }}u(x)dx=m$, with $m\in {\mathbf{R}}^n$ fixed. The function $W$, which represents the Gibbs free energy, is non-negative and vanishes only in a finite number of points ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in {\mathbf{R}}^n$. The result is that the minimizers asymptotically approach a configuration which corresponds to a partition of the container $\Omega$ into $k$ subsets whose boundaries satisfy a minimality condition.

Résumé

Dans cet article nous étendons la théorie des transitions de phase de Van der Waals–Cahn–Hilliard au cas d’un mélange de $n$ fluides non intérageants. En supposant l’état du mélange décrit par une fonction vectorielle de densité $u=(u_1,\dots ,u_n)$, le problème consistera dans l’étude du comportement asymptotique par $\epsilon \to 0^{+}$ des minimisants des énergies :

sous la contrainte de volume${\int }_{\mathrm{\Omega }}u(x)dx=m$, avec $m\in {\mathbf{R}}^n$ fixé. La fonction W représente l’énergie libre de Gibbs, à valeurs non négatives et qui est nulle sur un nombre fini de points ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k\in {\mathbf{R}}^n$. Nous obtenons alors que les minimisants approchent asymptotiquement une configuration qui corresponds à une partition du container $\Omega$ en $k$ sous-ensembles dont les bords satisfont à une certaine condition de minimalité.