A Glimm type functional for a special Jin–Xin relaxation model
Stefano Bianchini
SISSA-ISAS, via Beirut 2-4, 34014 Trieste, Italy

Abstract
We consider a special case of the Jin–Xin relaxation systems
We assume that the integral curves of the eigenvectors ri of DF(u) are straight lines.
In this setting we prove that for every initial data u,v with sufficiently small total variation the solution (uε,vε) of (∗) is well defined for all t>0, and its total variation satisfies a uniform bound, independent of t,ε. Moreover, as ε tends to 0+, the solutions (uε,vε) converge to a unique limit (u(t),v(t)): u(t) is the unique entropic solution of the corresponding hyperbolic system ut+F(u)x=0 and v(t,x)=F(u(t,x)) for all t>0, a.e. x ∈ ℝ.
The proofs rely on the introduction of a new functional for the solutions of (∗), corresponding to the Glimm interaction potential for the approaching waves of different families.
Résumé
Nous considérons un cas special des systèmes de relaxation
Nous supposons que les courbes intégrales des vecteurs propres ri de DF(u) sont des droites.
Sous ces hypothèses, nous prouvons que pour chaques données initiales u,v avec une variation totale suffisamment petite la solution (uε,vε) de (∗) est bien définie pour tout t>0, et sa variation totale satisfait une borne uniforme, indépendante de t,ε. De plus, quand ε tend vers 0+, les solutions (uε,vε) convergent vers une unique limite (u(t),v(t)): u(t) est l’unique solution entropique du système hyperbolique correspondant ut+F(u)x=0 et v(t,x)=F(u(t,x)) pour tout t>0, p.p. x ∈ ℝ. Les preuves sont basées sur l’introduction d’une nouvelle fonctionnelle pour les solutions de (∗), correspondant au potential d’interaction de Glimm pour les vagues approchantes des différentes familles.
Cite this article
Stefano Bianchini, A Glimm type functional for a special Jin–Xin relaxation model. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 18 (2001), no. 1, pp. 19–42
DOI 10.1016/S0294-1449(00)00124-4