Long-time vanishing properties of solutions of some semilinear parabolic equations

Abstract

We study the long-time behavior of solutions of semilinear parabolic equations of the following type (PE) ${\partial }_{t}u-\nabla .A(x,t,u,\nabla u)+f(x,u)=0$ where $f(x,u)\approx b(x)|u{|}^{q-1}u$, $b$ being a nonnegative bounded and measurable function and $q$ a real number such that $0\le q<1$. We give criteria which imply that any solution of the above equations vanishes in finite time and these criteria are associated to semi-classical limits of some Schrödinger operators. We also give a series of sufficient conditions on $b(x)$ which imply that any supersolution with positive initial data does not to vanish identically for any positive $t$.

Résumé

Nous étudions le comportement en temps grand de solutions d’équations paraboliques du type (PE) ${\partial }_{t}u-\nabla .A(x,t,u,\nabla u)+f(x,u)=0$, où $f(x,u)\approx b(x)|u{|}^{q-1}u$, $b$ étant une fonction positive, bornée et mesurable, et $q$ un nombre réel tel que $0\le q<1$. Nous donnons des critères qui impliquent que toute solution des équations ci-dessus devient identiquement nulle en temps fini et ces critères sont associés à des problèmes de limite semi-classique d’opérateurs de Schrödinger. Nous donnons aussi une série de conditions suffisantes sur $b(x)$ qui impliquent que toute sur-solution avec des données initiales positives ne devient jamais identiquement égale à zéro.