Abstract

We study the long-time behavior of solutions of semilinear parabolic equations of the following type (PE) ∂tu−∇.A(x,t,u,∇u)+f(x,u)=0 where f(x,u)≈b(x)|u|q−1u, b being a nonnegative bounded and measurable function and q a real number such that 0≤q<1. We give criteria which imply that any solution of the above equations vanishes in finite time and these criteria are associated to semi-classical limits of some Schrödinger operators. We also give a series of sufficient conditions on b(x) which imply that any supersolution with positive initial data does not to vanish identically for any positive t.

Résumé

Nous étudions le comportement en temps grand de solutions d’équations paraboliques du type (PE) ∂tu−∇.A(x,t,u,∇u)+f(x,u)=0, où f(x,u)≈b(x)|u|q−1u, b étant une fonction positive, bornée et mesurable, et q un nombre réel tel que 0≤q<1. Nous donnons des critères qui impliquent que toute solution des équations ci-dessus devient identiquement nulle en temps fini et ces critères sont associés à des problèmes de limite semi-classique d’opérateurs de Schrödinger. Nous donnons aussi une série de conditions suffisantes sur b(x) qui impliquent que toute sur-solution avec des données initiales positives ne devient jamais identiquement égale à zéro.