Existence of guided cylindrical TM-modes in a homogeneous self-focusing dielectric

Abstract

We establish the existence of nontrivial solutions for the nonlinear eigenvalue problem which describes self-trapped transverse magnetic field modes in a cylindrical optical fiber made from a self-focusing dielectric material. It amounts to finding solutions in the Sobolev space $H_0^1(0,\infty )$ of a singular second order differential equation which is quasilinear and, in an appropriate sense, asymptotically linear. Solutions are critical points of an energy functional which has a mountain pass structure, although for all relevant parameter values the problem is in resonance at infinity. The quasilinearity complicates the proof of a Palais–Smale condition, and the asymptotic linearity means that the standard methods for showing that a P-S sequence is bounded do not apply. Both the linearization and the asymptotic linearization have only continuous spectrum. The eigenvalues determine the wavelengths of self-trapped modes and our results establish the existence of such modes for the largest possible range of wavelengths.

Résumé

On montre l’existence de solutions d’un problème aux valeurs propres non linéaire qui modélise des modes guidés cylindriques TM dans un fibre optique. Il s’agit de trouver des solutions dans l’espace de Sobolev $H_0^1(0,\infty )$ d’une équation différentielle singulière de deuxième ordre qui est quasilinéaire et asymptotiquement linéaire. Les solutions sont des points critiques d’une fonctionnelle ayant la structure du théorème du col mais qui se trouve dans un cas de résonance pour toutes les valeurs admises du paramètre. La forme quasilinéaire complique la vérification de la condition du Palais–Smale et le comportement à l’infini fait que les méthodes usuelles pour montrer que les suites P-S sont bornées ne s’appliquent pas. La linéarisation ainsi que la linéarisation à l’infini n’ont que du spectre continu. Les valeurs propres du problème non linéaire déterminent les longueurs d’onde des modes guidés et nos résultats établissent l’existence de tels modes pour la gamme maximum de longueurs d’ondes.