An asymmetric Neumann problem with weights

Abstract

We prove the existence of a first nonprincipal eigenvalue for an asymmetric Neumann problem with weights involving the $p$-Laplacian (cf. (1.2) below). As an application we obtain a first nontrivial curve in the corresponding Fučik spectrum (cf. (1.4) below). The case where one of the weights has meanvalue zero requires some special attention in connexion with the (PS) condition and with the mountain pass geometry.

Résumé

Nous démontrons l'existence d'une première valeur propre non principale pour un problème de Neumann asymétrique avec poids faisant intervenir le $p$-laplacien (cf. (1.2) ci-dessous). Comme application nous obtenons une première courbe non triviale dans le spectre de Fučik correspondant (cf. (1.4) ci-dessous). Le cas où l'un des poids est de moyenne nulle demande une attention particulière en liaison avec la condition de Palais–Smale et avec la géométrie du col.