Regularity results for degenerate elliptic systems

Abstract

We prove regularity results for certain degenerate quasilinear elliptic systems with coefficients which depend on two different weights. By using Sobolev- and Poincaré inequalities due to Chanillo and Wheeden [S. Chanillo, R.L. Wheeden, Weighted Poincaré and Sobolev inequalities and estimates for weighted Peano maximal functions, Amer. J. Math. 107 (1985) 1191–1226; S. Chanillo, R.L. Wheeden, Harnack's inequality and mean-value inequalities for solutions of degenerate elliptic equations, Comm. Partial Differential Equations 11 (1986) 1111–1134] we derive a new weak Harnack inequality and adapt an idea due to L. Caffarelli [L.A. Caffarelli, Regularity theorems for weak solutions of some nonlinear systems, Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982) 833–838] to prove a priori estimates for bounded weak solutions. For example we show that every bounded weak solution of the system $-D_{\alpha }(a^{\alpha \beta }(x,u,\nabla u)D_{\beta }{u}^i)=0$ with $|x{|}^2|\xi {|}^2⩽a^{\alpha \beta }{\xi }_{\alpha }{\xi }_{\beta }⩽|x{|}^{\tau }|\xi {|}^2$, $|x|<1$, $\tau \in (1,2)$ is Hölder continuous. Furthermore we derive a Liouville theorem for entire solutions of the above systems.

Résumé

Nous prouvons des résultats de régularité pour certains systèmes elliptiques quasi linéaires dégénérés avec des coefficients dépendant de deux poids différents. En employant des inégalités de Sobolev- et Poincaré dues à Chanillo et Wheeden [S. Chanillo, R.L. Wheeden, Weighted Poincaré and Sobolev inequalities and estimates for weighted Peano maximal functions, Amer. J. Math. 107 (1985) 1191–1226 ; S. Chanillo, R.L. Wheeden, Harnack's inequality and mean-value inequalities for solutions of degenerate elliptic equations, Comm. Partial Differential Equations 11 (1986) 1111–1134] nous déduisons une nouvelle inégalité de Harnack et adaptons une idée due à L. Caffarelli [L.A. Caffarelli, Regularity theorems for weak solutions of some nonlinear systems, Comm. Pure Appl. Math. 35 (1982) 833–838] pour prouver des évaluations a priori pour des solutions limitées et faibles. Par exemple, chaque solution limitée et faible du système $-D_{\alpha }(a^{\alpha \beta }(x,u,\nabla u)D_{\beta }{u}^i)=0$ avec $|x{|}^2|\xi {|}^2⩽a^{\alpha \beta }{\xi }_{\alpha }{\xi }_{\beta }⩽|x{|}^{\tau }|\xi {|}^2$, $|x|<1$, $\tau \in (1,2)$ est continue selon Hölder. De plus, nous déduisons un théorème de Liouville pour les solutions entières des systèmes ci-dessus.