On the topology of solenoidal attractors of the cylinder

  • Jan Kiwi

    Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica, Casilla 306, Correo 22, Santiago, Chile
  • Juan Rivera-Letelier

    Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Casilla 1280, Antofagasta, Chile
  • Richard Urzúa

    Departamento de Matemáticas, Universidad Católica del Norte, Casilla 1280, Antofagasta, Chile
  • Rodrigo Bamón

    Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile, Casilla 653, Santiago, Chile

Abstract

We study the dynamics of skew product endomorphisms acting on the cylinder , of the form

where is an integer, and is a continuous function. We are interested in topological properties of the global attractor of this map. Given and a Lipschitz function , we show that the attractor set is homeomorphic to a closed topological annulus for all sufficiently close to . Moreover, we prove that is a Jordan curve for at most finitely many .

These results rely on a detailed study of iterated “cohomological” equations of the form , , where and denotes the multiplication by map. We show the following finiteness result: each Lipschitz function can be written in a canonical way as,

where , and the Lipschitz function satisfies for every continuous function and every .

Résumé

On étudie la dynamique des produits croisés agissant sur le cylindre , de la forme

est un entier, et est une fonction continue. On s'intéresse aux propriétés topologiques de l'attracteur global de cet endomorphisme. Étant donné et une fonction lipschitzienne , on démontre que l'attracteur est homéomorphe à un anneau topologique pour tout suffisamment proche de 1. D'autre part, on démontre qu'il existe au plus un nombre fini de tels que l'attracteur soit une courbe de Jordan.

Ces résultats s'appuient sur une analyse détaillée des équations “cohomologiques” itérées : , , et est l'application de multiplication par sur le cercle . On démontre le résultat de finitude suivant : toute fonction lipschitizenne s'écrit de façon canonique sous la forme

, et la fonction lispchitzienne satisfait pour toute fonction continue et tout .

Cite this article

Jan Kiwi, Juan Rivera-Letelier, Richard Urzúa, Rodrigo Bamón, On the topology of solenoidal attractors of the cylinder. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 23 (2006), no. 2, pp. 209–236

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2005.03.002