On the topology of solenoidal attractors of the cylinder

Abstract

We study the dynamics of skew product endomorphisms acting on the cylinder $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}$, of the form

where $\ell ⩾2$ is an integer, $\lambda \in (0,1)$ and $\tau :\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ is a continuous function. We are interested in topological properties of the global attractor ${\Omega }_{\lambda ,\tau }$ of this map. Given $\ell$ and a Lipschitz function $\tau$, we show that the attractor set ${\Omega }_{\lambda ,\tau }$ is homeomorphic to a closed topological annulus for all $\lambda$ sufficiently close to $1$. Moreover, we prove that ${\Omega }_{\lambda ,\tau }$ is a Jordan curve for at most finitely many $\lambda \in (0,1)$.

These results rely on a detailed study of iterated “cohomological” equations of the form $\tau ={\mathcal{L}}_{{\lambda }_1}{\mu }_1$, ${\mu }_1={\mathcal{L}}_{{\lambda }_2}{\mu }_2,\dots$, where ${\mathcal{L}}_{\lambda }\mu =\mu ○{\mathbf{m}}_{\ell }-\lambda \mu$ and ${\mathbf{m}}_{\ell }:\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ denotes the multiplication by $\ell$ map. We show the following finiteness result: each Lipschitz function $\tau$ can be written in a canonical way as,

where $m⩾0$, ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in (0,1]$ and the Lipschitz function $\mu$ satisfies $\mu \ne {\mathcal{L}}_{\lambda }\rho$ for every continuous function $\rho$ and every $\lambda \in (0,1]$.

Résumé

On étudie la dynamique des produits croisés agissant sur le cylindre $\mathbb{R}/\mathbb{Z}\times \mathbb{R}$, de la forme

où $\ell ⩾2$ est un entier, $\lambda \in (0,1)$ et $\tau :\mathbb{R}/\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ est une fonction continue. On s'intéresse aux propriétés topologiques de l'attracteur global ${\Omega }_{\lambda ,\tau }$ de cet endomorphisme. Étant donné $\ell$ et une fonction lipschitzienne $\tau$, on démontre que l'attracteur ${\Omega }_{\lambda ,\tau }$ est homéomorphe à un anneau topologique pour tout $\lambda$ suffisamment proche de 1. D'autre part, on démontre qu'il existe au plus un nombre fini de $\lambda \in (0,1)$ tels que l'attracteur ${\Omega }_{\lambda ,\tau }$ soit une courbe de Jordan.

Ces résultats s'appuient sur une analyse détaillée des équations “cohomologiques” itérées : $\tau ={\mathcal{L}}_{{\lambda }_1}{\mu }_1$, ${\mu }_1={\mathcal{L}}_{{\lambda }_2}{\mu }_2,\dots$, où ${\mathcal{L}}_{\lambda }\mu =\mu ○{\mathbf{m}}_{\ell }-\lambda \mu$ et ${\mathbf{m}}_{\ell }$ est l'application de multiplication par $\ell$ sur le cercle $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$. On démontre le résultat de finitude suivant : toute fonction lipschitizenne $\tau$ s'écrit de façon canonique sous la forme

$m⩾0$, ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in (0,1]$ et la fonction lispchitzienne $\mu$ satisfait $\mu \ne {\mathcal{L}}_{\lambda }\rho$ pour toute fonction continue $\rho$ et tout $\lambda \in (0,1]$.