Morse index properties of colliding solutions to the N-body problem

Abstract

We study a singular Hamiltonian system with an $\alpha$-homogeneous potential that contains, as a particular case, the classical $N$-body problem. We introduce a variational Morse-like index for a class of collision solutions and, using the asymptotic estimates near collisions, we prove the non-minimality of some special classes of colliding trajectories under suitable spectral conditions provided $\alpha$ is sufficiently away from zero. We then prove some minimality results for small values of the parameter $\alpha$.

Résumé

Nous étudions un système dynamique de type hamiltonien avec un potentiel $\alpha$-omogène et singulier. Nous introduisons un indice variationnel de type Morse pour une classe de solutions avec collision et, à l'aide de certaines estimations asymptotiques dans un entourage des collisions, nous prouvons des resultats de non-minimalité lorsque $\alpha$ ne devient pas trop petit, sous des hypothèses spectrales. Enfin, nous prouvons aussi un résultat de minimalité lorsque $\alpha \to 0$.