Partial continuity for elliptic problems

Abstract

We prove the partial Hölder continuity for solutions to elliptic systems and for minimizers of quasi-convex integrals, under the assumption of continuous coefficients. The proof relies upon an iteration scheme of a decay estimate for a new type of excess functional measuring the oscillations in the solution and its gradient. To establish the decay estimate, we use the technique of $\mathcal{A}$-harmonic approximation, based on Duzaar and Steffen's $\mathcal{A}$-harmonic approximation lemma [F. Duzaar, K. Steffen, Optimal interior and boundary regularity for almost minimizers to elliptic variational integrals, J. Reine Angew. Math. (Crelles J.) 546 (2002) 73–138].

Résumé

Nous prouvons la continuité Hölderienne partielle pour des solutions de systèmes elliptiques ou pour des minimiseurs d'intégrales quasi-convexes, sous réserve que les coefficients soient continus. La preuve consiste en un schéma itératif d'estimations de décroissance pour un nouveau type de fonctionnelles d'excès servant à mesurer les oscillations de la solution et de son gradient. Afin d'établir les estimations de décroissance, nous utilisons la technique de l'approximation $\mathcal{A}$-harmonique, basée sur le lemme d'approximation $\mathcal{A}$-harmonique de Duzaar et Steffen [F. Duzaar, K. Steffen, Optimal interior and boundary regularity for almost minimizers to elliptic variational integrals, J. Reine Angew. Math. (Crelles J.) 546 (2002) 73–138].