On minimal surfaces with free boundaries in given homotopy classes

Abstract

Let $S$ be a smooth compact imbedded surface in $R^3$ and let $B$ be the unit disc in $R^2$. We consider the problem of finding a surface that minimizes area among all surfaces which have the topological type of a disc and which have boundaries in a given nontrivial homotopy class $H$ of curves $\gamma :\partial B\to S$. We show that $H$ can be decomposed into finitely many homotopy classes $H_1,\dots ,H_k$ for which the problem is solvable.

Résumé

Soit $S$ une surface compacte régulière dans $R^3$ et soit $B$ un disque dans $R^2$. On étudie le problème de trouver une surface qui minimise la superficie entre les surfaces qui sont topologiquement équivalentes à un disque et qui ont des frontières dans une classe d’homotopie $H$ nontriviale des courbes $\gamma :\partial B\to S$. On prouve qu’on peut décomposer $H$ dans des classes d’homotopie $H_1,H_2,\dots ,H_k$ non triviales pour lesquelles il existe une solution du problème étudié.