Solutions in the large for certain nonlinear parabolic systems

Abstract

We prove the global existence of smooth solutions for certain systems of the form $u_t+f(u{)}_x=\mathrm{D}{u}_{xx}$. Here $u$ and $f$ are vectors and $\mathrm{D}$ is a constant, positive matrix. We assume that the Cauchy data $u_0$ satisfies ${\Vert u_0-\bar{u}\Vert }_{{\mathrm{L}}^{\infty }\left(R\right)}<r$, where $\bar{u}$ is a fixed vector and $f$ is defined in an $r$-ball about $\bar{u}$, and that ${\Vert u_0-\bar{u}\Vert }_{{\mathrm{L}}^2\left(R\right)}$ is sufficiently small. We show how our results apply to the equations of (nonisentropic) gas dynamics, and we include a result which shows that for the Navier–Stokes equations of compressible flow, smoothing of initial discontinuities must occur for the velocity and energy, but cannot occur for the density.

Résumé

Nous démontrons l’existence globale de solutions régulières pour certains systèmes de la forme $u_t+f(u{)}_x=\mathrm{D}{u}_{xx}$, où $u$ et $f$ sont des vecteurs et $\mathrm{D}$ une matrice constante définie positive. Nous supposons que la donnée initiale $u_0$ vérifie ${\Vert u_0-\bar{u}\Vert }_{\infty }<r$ où $\bar{u}$ est fixé, $f$ défini dans la boule de centre $\bar{u}$ et de rayon $r$, et ${\Vert u_0-\bar{u}\Vert }_2$ est suffisamment petit. Nous montrons ensuite comment nos résultats s’appliquent aux équations de la dynamique des gaz (cas non isentropique), et nous prouvons, en particulier, que pour les équations de Navier–Stokes pour les fluides compressibles, la régularisation des discontinuités initiales doit apparaître pour la vitesse et l’énergie, mais ne peut pas se produire pour la densité.