Critère d’existence de solutions positives pour des équations semi-linéaires non monotones

Abstract

We give a necessary and sufficient condition on $f\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U})$, $f\ge 0$ for the existence of a nonnegative solution for the equation

Here $j$ is a convex function from $[0,\infty [$ into $[0,\infty [$ and $\mathrm{N}$ is a nonnegative kernel of ${\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U}\times \mathrm{U})$. This equation contains as a special case elliptic and parabolic semilinear equations of nonmonotone type like, for instance

and its parabolic version. These examples are treated in detail. Necessary conditions in terms of ${\mathrm{W}}^{2,\gamma \prime }$-capacity are also given.

Résumé

On donne une condition nécessaire et suffisante sur $f\in {\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U})$, $f\ge 0$, pour que l’équation

ait une solution positive; ici, $j$ est une fonction convexe de $[0,\infty [$ dans $[0,\infty [$ et $\mathrm{N}$ est un noyau positif de ${\mathrm{L}}_{\mathrm{loc}}^1(\mathrm{U}\times \mathrm{U})$. Entrent dans ce cadre les équations semi-linéaires elliptiques et paraboliques non monotones avec non-linéarité convexe comme, par exemple, le problem

et sa version parabolique. Les applications à ces exemples sont traitées en détail. Des conditions nécessaires en termes de ${\mathrm{W}}^{2,\gamma \prime }$-capacité sont explicitées.