Breaking of resonance and regularizing effect of a first order quasi-linear term in some elliptic equations

Abstract

In this article we study the problem

with $1⩽q⩽2$ and $f,g$ are positive measurable functions. We give assumptions on $g$ with respect to $q$ for which for all $\lambda >0$ and all $f\in L^1$, $f⩾0$, problem (P) has a positive solution. In particular we focus our attention on $g(x)={}^1{/}_{|x{|}^2}$ to prove that the assumptions on $g$ are optimal.

Résumé

Dans cet article nous étudions le problème

où $1⩽q⩽2$ et $f,g$ sont des fonctions mesurables positives. Nous donnons des hypothèses sur $g$ dépendant de $q$ telles que pour tout $\lambda >0$ et pour tout $f\in L^1$, $f⩾0$, le problème (P) a une solution positive. Nous portons une attention particulière au cas $g(x)={}^1{/}_{|x{|}^2}$ pour montrer que les hypothèses sur $g$ sont optimales.