Almost continuous solutions of geometric Hamilton–Jacobi equations

Abstract

We study the Hamilton–Jacobi equation

in $R^N\times ]0,+\infty [$, where $H$ is a continuous positively homogeneous Hamiltonian with constant sign and verifying suitable assumptions but no convexity properties. We look for discontinuous (viscosity) solutions verifying certain initial conditions with discontinuous data. Our aim is to give representation formulae as well as uniqueness and stability results.

We find that the condition

where $u^{\#}(u_{\#})$ denotes the upper (lower) semicontinuous envelope of $u$, can be used as a uniqueness criterion and determines a class of solutions defined and continuous on certain dense subsets of $R^N\times ]0,+\infty [$ that we call almost continuous.

Such solutions can be represented by a formula which is a generalization of the Lax–Hopf one for the eikonal equation.

Résumé

Nous étudions l’équation de Hamilton–Jacobi

en $R^N\times ]0,+\infty [$, où $H$ est un Hamiltomien continu et positivement homogène qui ne change pas de signe et qui ne vérifie aucune hypothèse de convexité. On cherche des solutions de viscosité discontinues qui vérifient certaines conditions initiales avec des données discontinues. Le but est de donner des formules de représentation aussi bien que des résultats d’unicité et de stabilité.

Nous prouvons que la condition

oú $u^{\#}(u_{\#})$ est l’enveloppe s.c.s. (s.c.i.) de $u$, peut être utilisée comme un critère d’unicité et détermine une classe de solutions définies et continues sur des ensembles denses de $R^N\times ]0,+\infty [$ que nous appellons presque continues.

Nous représentons ces solutions à l’aide d’une formule qui généralise celle de Lax–Hopf pour l’équation eiconale.