Regular self-similar solutions of the nonlinear heat equation with initial data above the singular steady state

Abstract

We prove the existence of positive regular solutions of the Cauchy problem for the nonlinear heat equation $u_t=\Delta u+|u{|}^{\alpha }u$, with initial value $\mu V$, for all $\mu >1$ close enough to $1$, where $V$ is the singular stationary solution in ${\mathbb{R}}^N$. This result is obtained when $N>2$ and $\frac{2}{N-2}<\alpha <{\alpha }^{\ast }$, where ${\alpha }^{\ast }$ is the critical power for the intersection properties of $V$ with regular stationary solutions. Moreover, for $\mu$ as above, there exist at least two positive regular solutions with initial value $\mu V$. These results are optimal since it is known that no such solution exists if $\alpha \ge {\alpha }^{\ast }$.

Résumé

Nous montrons l’existence de solutions positives régulières du problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur non linéaire $u_t=\Delta u+|u{|}^{\alpha }u$, avec donnée initiale $\mu V$, pour tout $\mu >1$ assez proche de $1$, où $V$ est la solution stationnaire singulière dans ${\mathbb{R}}^N$. Ce résultat est obtenu pour $N>2$ et $\frac{2}{N-2}<\alpha <{\alpha }^{\ast }$, où ${\alpha }^{\ast }$ est la puissance critique pour les propriétés d’intersection de $V$ avec les solutions stationnaires régulières. De plus, pour $\mu$ comme ci-dessus, il existe au moins deux solutions positives régulières avec donnée initiale $\mu V$. Ces résultats sont optimaux, car on savait déjà que de telles solutions ne peuvent exister si $\alpha \ge {\alpha }^{\ast }$.