Abstract

We prove the existence of positive regular solutions of the Cauchy problem for the nonlinear heat equation ut=Δu+|u|αu, with initial value μV, for all μ>1 close enough to 1, where V is the singular stationary solution in ${\mathbb{R}}^N$. This result is obtained when N>2 and $\frac{2}{N-2}<\alpha <\alpha \ast$, where α∗ is the critical power for the intersection properties of V with regular stationary solutions. Moreover, for μ as above, there exist at least two positive regular solutions with initial value μV. These results are optimal since it is known that no such solution exists if α≥α∗.

Résumé

Nous montrons l’existence de solutions positives régulières du problème de Cauchy pour l’équation de la chaleur non linéaire ut=Δu+|u|αu, avec donnée initiale μV, pour tout μ>1 assez proche de 1, où V est la solution stationnaire singulière dans ${\mathbb{R}}^N$. Ce résultat est obtenu pour N>2 et $\frac{2}{N-2}<\alpha <\alpha \ast$, où α∗ est la puissance critique pour les propriétés d’intersection de V avec les solutions stationnaires régulières. De plus, pour μ comme ci-dessus, il existe au moins deux solutions positives régulières avec donnée initiale μV. Ces résultats sont optimaux, car on savait déjà que de telles solutions ne peuvent exister si α≥α∗.