Critical groups computations on a class of Sobolev Banach spaces via Morse index

Abstract

In this paper we deal with critical groups estimates for a functional $f:W_0^{1,p}\left(\Omega \right)\to \mathbb{R}\left(p>2\right),\Omega$ bounded domain of ${\mathbb{R}}^N$, defined by setting

where $G\left(t\right)={\int }_0^{t}g\left(s\right)ds$ and $g$ is a smooth real function on $R$, growing subcritically. We remark that the second derivative of $f$ in each critical point $u$ is not a Fredholm operator from $W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$ to its dual space, so that the generalized Morse splitting lemma does not work. In spite of the lack of an Hilbert structure, we compute the critical groups of $f$ in $u$ via its Morse index.

Résumé

Dans cet article, nous estimons les groupes critiques pour une fonctionnelle : $f:W_0^{1,p}\left(\Omega \right)\to \mathbb{R}\left(p>2\right),\Omega$ ensemble borné de ${\mathbb{R}}^N$, définie par

où $G\left(t\right)={\int }_0^{t}g\left(s\right)ds$ et $g$ est une fonction réelle et régulière sur $R$, avec une croissance sous-critique. On observe que la dérive seconde de $f$ en chaque point $u$ n’est pas un opérateur de Fredholm entre $W_0^{1,p}\left(\Omega \right)$ est son espace dual et la généralisation du Lemme de Morse ne peut être appliquée. Bien que la structure d’espace d’Hilbert n’existe pas, on est capable de calculer les groupes critiques de $f$ en $u$ grâce à l’index de Morse.