Homogenization and correctors for monotone problems in cylinders of small diameter

Abstract

In this paper we study the homogenization of monotone diffusion equations posed in an $N$-dimensional cylinder which converges to a (one-dimensional) segment line. In other terms, we pass to the limit in diffusion monotone equations posed in a cylinder whose diameter tends to zero, when simultaneously the coefficients of the equations (which are not necessarily periodic) are also varying. We obtain a limit system in both the macroscopic (one-dimensional) variable and the microscopic variable. This system is nonlocal. From this system we obtain by elimination an equation in the macroscopic variable which is local, but in contrast with usual results, the operator depends on the right-hand side of the equations. We also obtain a corrector result, i.e. an approximation of the gradients of the solutions in the strong topology of the space $L^p$ in which the monotone operators are defined.

Résumé

Dans cet article nous étudions lʼhomogénéisation dʼéquations de diffusion monotones posées dans un cylindre de dimension $N$ qui converge vers un segment (qui est donc unidimensionnel). En dʼautres termes, nous passons à la limite dans des équations de diffusion monotones posées dans un cylindre dont le diamètre tend vers zéro, quand en même temps les coefficients des équations (qui ne sont pas nécessairement périodiques) varient eux aussi. Nous obtenons un système limite en la variable macroscopique (unidimensionnelle) et en la variable microscopique. Ce système est non local. A partir de ce système nous obtenons par élimination une équation en la variable macroscopique qui est locale, mais dans laquelle, à la difference des résultats usuels, lʼopérateur dépend du second membre des équations. Nous obtenons aussi un résultat de correcteur, cʼest à dire une approximation des gradients des solutions dans la topologie forte de lʼespace $L^p$ dans lequel sont définis les opérateurs monotones.