Controllability of a string submitted to unilateral constraint

Abstract

This article studies the controllability property of a homogeneous linear string of length one, submitted to a time dependent obstacle (described by the function $\{\psi (t){\}}_{0⩽t⩽T}$) located below the extremity $x=1$. The Dirichlet control acts on the other extremity $x=0$. The string is modelled by the wave equation $y^{\prime \prime }-y_{xx}=0$ in $(t,x)\in (0,T)\times (0,1)$, while the obstacle is represented by the Signorini's conditions $y(t,1)⩾\psi (t)$, $y_x(t,1)⩾0$, $y_x(t,1)(y(t,1)-\psi (t))=0$ in $(0,T)$. The characteristic method and a fixed point argument allow to reduce the problem to the analysis of the solutions at $x=1$. We prove that, for any $T>2$ and initial data $(y^0,y^1)\in H^1(0,1)\times L^2(0,1)$ with $\psi (0)⩽y^0(1)$, the system is null controllable with controls in $H^1(0,T)$. Two distinct approaches are used. We first introduce a penalized system in $y_{ϵ}$, transforming the Signorini's condition into the simpler one $y_{ϵ,x}(t,1)={ϵ}^{-1}[y_{ϵ}(t,1)-\psi (t){]}^{-}$, $ϵ$ being a small positive parameter. We construct explicitly a family of controls of the penalized problem, uniformly bounded with respect to $ϵ$ in $H^1(0,T)$. This enables us to pass to the limit and to obtain a control for the initial equation. A more direct approach, based on differential inequalities theory, leads to a similar positive conclusion. Numerical experiments complete the study.

Résumé

Cet article étudie les propriétés de contrôlabilité d'une corde homogène de longeur un, soumise à un obstacle dépendant du temps (décrit par la fonction $\{\psi (t){\}}_{0⩽t⩽T}$) à l'extrémité $x=1$. Le contrôle Dirichlet agit à l'extrémité $x=0$. La corde est modélisée par l'équation des ondes $y^{\prime \prime }-y_{xx}=0$ dans $(t,x)\in (0,T)\times (0,1)$, tandis que l'obstacle est représenté par les conditions de Signorini $y(t,1)⩾\psi (t)$, $y_x(t,1)⩾0$, $y_x(t,1)(y(t,1)-\psi (t))=0$ sur $(0,T)$. La méthode des caractéristiques et un argument de point fixe permettent de réduire le problème à l'analyse des solutions en $x=1$. Nous prouvons que, pour tout $T>2$ et donnée initiale $(y^0,y^1)\in H^1(0,1)\times L^2(0,1)$ avec $\psi (0)⩽y^0(1)$, le système est contrôlable à zéro avec des contrôles dans $H^1(0,T)$. Deux approches sont utilisées. On introduit tout d'abord un système pénalisé en $y_{ϵ}$, transformant les conditions de Signorini en l'égalité $y_{ϵ,x}(t,1)={ϵ}^{-1}[y_{ϵ}(t,1)-\psi (t){]}^{-}$, $ϵ$ étant un paramètre positif. On construit explicitement une famille de contrôle du problème pénalisé uniformément bornée par rapport à $ϵ$ dans $H^1(0,T)$. Cela nous permet de passer à la limite et d'obtenir un contrôle pour le système initial. Une approche plus directe, relevant de la théorie des inéquations différentielles, conduit à un résultat positif similaire. Quelques applications numériques complètent l'étude.