On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations

  • Benoît Grébert

    Laboratoire de Mathématiques Jean Leray UMR 6629, Université de Nantes, 2, rue de la Houssinière, 44322 Nantes Cedex 3, France
  • Carlos Villegas-Blas

    Universidad Nacional Autonoma de México, Instituto de Matemáticas, Unidad Cuernavaca, Mexico

Abstract

We consider the nonlinear Schrödinger equation

and we prove that the solution of this equation, with small initial datum , will periodically exchange energy between the Fourier modes and as soon as . This beating effect is described up to time of order while the frequency is of order . We also discuss some generalizations.

Résumé

Nous considérons l'équation de Schödinger non linéaire

et nous montrons la solution de cette équation ayant pour donnée initiale avec petit, va échanger périodiquement de l'énergie entre les modes de Fourier et dès que . Cet effet de battement, dont la période est de l'ordre de , est mis en évidence pour des temps de l'ordre de . Nous présentons aussi quelques généralisations.

Cite this article

Benoît Grébert, Carlos Villegas-Blas, On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 28 (2011), no. 1, pp. 127–134

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2010.11.004