On the energy exchange between resonant modes in nonlinear Schrödinger equations

Abstract

We consider the nonlinear Schrödinger equation

and we prove that the solution of this equation, with small initial datum $\psi (0,x)=\epsilon (A\exp (ix)+B\exp (-ix))$, will periodically exchange energy between the Fourier modes $e^{ix}$ and $e^{-ix}$ as soon as $A^2\ne B^2$. This beating effect is described up to time of order ${\epsilon }^{-5/2}$ while the frequency is of order ${\epsilon }^2$. We also discuss some generalizations.

Résumé

Nous considérons l'équation de Schödinger non linéaire

et nous montrons la solution de cette équation ayant pour donnée initiale $\psi (0,x)=\epsilon (A\exp (ix)+B\exp (-ix))$ avec $\epsilon$ petit, va échanger périodiquement de l'énergie entre les modes de Fourier $e^{ix}$ et $e^{-ix}$ dès que $A^2\ne B^2$. Cet effet de battement, dont la période est de l'ordre de ${\epsilon }^{-2}$, est mis en évidence pour des temps de l'ordre de ${\epsilon }^{-5/2}$. Nous présentons aussi quelques généralisations.