Commutability of homogenization and linearization at identity in finite elasticity and applications

  • Antoine Gloria

    Project-team SIMPAF & Laboratoire Paul Painlevé UMR 8524, INRIA Lille – Nord Europe & Université Lille 1, Villeneuve dʼAscq, France
  • Stefan Neukamm

    Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences, Inselstr. 22–26, D-04103 Leipzig, Germany

Abstract

We prove under some general assumptions on elastic energy densities (namely, frame indifference, minimality at identity, non-degeneracy and existence of a quadratic expansion at identity) that homogenization and linearization commute at identity. This generalizes a recent result by S. Müller and the second author by dropping their assumption of periodicity. As a first application, we extend their -convergence commutation diagram for linearization and homogenization to the stochastic setting under standard growth conditions. As a second application, we prove that the -closure is local at identity for this class of energy densities.

Résumé

Nous démontrons que linéarisation et homogénéisation commutent à lʼidentité sous des hypothèses générales sur la densité dʼénergie élastique (à savoir indifférence matérielle, minimalité à lʼidentité, non-dégénérescence et existence dʼun développement quadratique à lʼidentité). Ceci généralise un résultat récent de S. Müller et du second auteur au cas non-périodique. En particulier, nous étendons au cas de lʼhomogénéisation stochastique leur diagramme de commutation de la linéarisation et de lʼhomogénéisation au sens de la -convergence. Par ailleurs, nous démontrons que la -fermeture est locale à lʼidentité pour la classe de densités dʼénergie non convexes considérée.

Cite this article

Antoine Gloria, Stefan Neukamm, Commutability of homogenization and linearization at identity in finite elasticity and applications. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 28 (2011), no. 6, pp. 941–964

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2011.07.002