Commutability of homogenization and linearization at identity in finite elasticity and applications

Abstract

We prove under some general assumptions on elastic energy densities (namely, frame indifference, minimality at identity, non-degeneracy and existence of a quadratic expansion at identity) that homogenization and linearization commute at identity. This generalizes a recent result by S. Müller and the second author by dropping their assumption of periodicity. As a first application, we extend their $\Gamma$-convergence commutation diagram for linearization and homogenization to the stochastic setting under standard growth conditions. As a second application, we prove that the $\Gamma$-closure is local at identity for this class of energy densities.

Résumé

Nous démontrons que linéarisation et homogénéisation commutent à lʼidentité sous des hypothèses générales sur la densité dʼénergie élastique (à savoir indifférence matérielle, minimalité à lʼidentité, non-dégénérescence et existence dʼun développement quadratique à lʼidentité). Ceci généralise un résultat récent de S. Müller et du second auteur au cas non-périodique. En particulier, nous étendons au cas de lʼhomogénéisation stochastique leur diagramme de commutation de la linéarisation et de lʼhomogénéisation au sens de la $\Gamma$-convergence. Par ailleurs, nous démontrons que la $\Gamma$-fermeture est locale à lʼidentité pour la classe de densités dʼénergie non convexes considérée.