Existence of self-dual non-topological solutions in the Chern–Simons Higgs model

Abstract

In this paper we investigate the existence of non-topological solutions of the Chern–Simons Higgs model in ${\mathbb{R}}^2$. A long standing problem for this equation is: Given $N$ vortex points and $\beta >8\pi (N+1)$, does there exist a non-topological solution in ${\mathbb{R}}^2$ such that the total magnetic flux is equal to $\beta /2$? In this paper, we prove the existence of such a solution if $\beta \notin \{8\pi N\frac{k}{k-1}|k=2,\dots ,N\}$. We apply the bubbling analysis and the Leray–Schauder degree theory to solve this problem.

Résumé

Lʼobjectif de cet article est de prouver lʼexistence de solutions non-topologiques du modèle de Chern–Simons Higgs dans ${\mathbb{R}}^2$. Un problème de longue date existe pour cette équation : Soit $N$ points vortex et $\beta >8\pi (N+1)$, existe-t-il une solution non-topologique dans ${\mathbb{R}}^2$ telle que le flux magnétique total est égal à $\beta /2$ ? Dans cet article, nous prouvons lʼexistence dʼune solution pour $\beta \notin \{8\pi N\frac{k}{k-1}|k=2,\dots ,N\}$. Nous appliquons lʼanalyse par bulles et la theorie de Leray–Schauder pour résoudre ce problème.