KAM theory in momentum space and quasiperiodic Schrödinger operators

Abstract

We construct a family of quasiperiodic Schrödinger operators in dimension one and in the tight binding approximation, having purely absolutely continuous spectrum. We work in momentum space and use a superconvergent approximation scheme to construct a unitary transformation that diagonalizes these operators on $L^2(B)$, $B=[-\pi ,\pi )$ being the first Brillouin zone of the unperturbed part. The transformed operators are multiplications by a function $E_{\infty }(k)\in L^{\infty }(B)$ which might have a dense set of jump discontinuities and is the uniform limit as $n\to \infty$ of functions ${Е}_n(k)$ with a finite number of discontinuities. Our control on the functions ${Е}_n(k)$ and its first two derivatives is good enough to ensure the absence of pure point and singular continuous spectrum.

Résumé

Nous construisons une famille d’opérateurs de Schrödinger en dimension un et avec interaction à courte portée, ayant un spectre purement absolument continu. Nous travaillons dans l’espace de Fourier et utilisons un schéma d’approximation super-convergent pour construire une transformation unitaire qui diagonalise ces opérateurs sur $L^2(B)$, $B=[-\pi ,\pi )$ étant la première zone de Brillouin de la partie libre. Les opérateurs transformés sont des multiplications par une fonction $E_{\infty }(k)\in L^{\infty }(B)$ qui peut avoir un ensemble dense de sauts et est la limite uniforme quand $n\to \infty$ de fonctions ${Е}_n(k)$ avec un nombre fini de discontinuités. Le contrôle sur les fonctions ${Е}_n(k)$ et leur deux premières dérivées est suffisant pour impliquer l’absence de spectre ponctuel et singulier continu.