The Cauchy problem for a nonlinear Wheeler–DeWitt equation

Abstract

In this paper we consider a nonlinear version of the simplified Wheeler–DeWitt equation which describes the minisuperspace model for the wave function $\psi$ of a closed universe (cf. [3], [2], [1]). Following [1], where the linear case has been solved, we study this equation as an evolution equation in the scalar field $y\in \mathbf{R}$ with a scale factor $x\in ]0,R[$. We solve the Cauchy problem for the initial data $\psi (x,0)$ and $\frac{\partial \psi }{\partial y}(x,0)$ and we study some decay properties and blow-up situations. A particular nonlinear version has been proposed in [6].

Résumé

Dans cet article nous considérons une version non linéaire de l’équation de Wheeler-DeWitt simplifiée qui décrit le modèle de mini-superespace pour la fonction d’onde ψ d’un univers fermé (cf. [3], [2], [1]). Dans l’esprit de [1], où nous avons résolu le cas linéaire, nous étudions cette équation comme une équation d’évolution dans le champ scalaire $y\in \mathbf{R}$ avec le facteur d’échelle $x\in ]0,R[$. Nous résolvons le problème de Cauchy pour des données initiales $\psi (x,0)$ et $\frac{\partial \psi }{\partial y}(x,0)$ et nous étudions des propriétés de décroissance à l’infini et des situations d’explosion de la solution. Une version non linéaire particulière a été proposée dans [6].