Remarks on $W^{1,p}$-stability of the conformal set in higher dimensions

Abstract

In this paper, we study the stability of maps in $W^{1,p}$ that are close to the conformal set $K_1={\mathbf{R}}^{+}\cdot SO(n)$ in an averaged sense as described in Definition 1.1. We prove that $K_1$ is $W^{1,p}$-compact for all $p\ge n$ but is not $W^{1,p}$-stable for any $1\le p<n/2$ when $n\ge 3$. We also prove a coercivity estimate for the integral functional ${\int }_{{\mathbf{R}}^n}{d}_{K_1}^p(\nabla \varphi (x))dx$ on $W^{1,p}({\mathbf{R}}^n;{\mathbf{R}}^n)$ for certain values of $p$ lower than $n$ using some new estimates for weak solutions of $p$-harmonic equations.

Résumé

Dans cet article, nous étudions la stabilité des applications dans $W^{1,p}$ qui sont proches de l’ensemble conforme $K_1={\mathbf{R}}^{+}\cdot SO(n)$ dans un sens moyenné décrit dans la Définition 1.1. Nous prouvons que $K_1$ est $W^{1,p}$-compact pour $p\ge n$ mais n’est pas $W^{1,p}$-stable pour tout $1\le p<n/2$ si $n\ge 3$. Nous prouvons aussi une estimée de coercivité pour la fonctionnelle ${\int }_{{\mathbf{R}}^n}{d}_{K_1}^p(\nabla \varphi (x))dx$ on $W^{1,p}({\mathbf{R}}^n;{\mathbf{R}}^n)$ pour certaines valeurs de $p$ inférieures à $n$ en utilisant des estimées nouvelles pour des solutions faibles d’équations $p$-harmoniques.