Abstract

In this paper, we study the stability of maps in W1,p that are close to the conformal set K1 = R+ · SO(n) in an averaged sense as described in Definition 1.1. We prove that K1 is W1,p-compact for all p ≥ n but is not W1,p-stable for any 1 ≤ p < n/2 when n ≥ 3. We also prove a coercivity estimate for the integral functional ${\int }_{{\mathbf{R}}^n}{d}_{K_1}^p(\nabla \varphi (x))dx$ on W1,p(Rn; Rn) for certain values of p lower than n using some new estimates for weak solutions of p-harmonic equations.

Résumé

Dans cet article, nous étudions la stabilité des applications dans W1,p qui sont proches de l’ensemble conforme K1 = R+ · SO(n) dans un sens moyenné décrit dans la Définition 1.1. Nous prouvons que K1 est W1,p-compact pour p ≥ n mais n’est pas W1,p-stable pour tout 1 ≤ p < n/2 si n ≥ 3. Nous prouvons aussi une estimée de coercivité pour la fonctionnelle ${\int }_{{\mathbf{R}}^n}{d}_{K_1}^p(\nabla \varphi (x))dx$ on W1,p(Rn; Rn) pour certaines valeurs de p inférieures à n en utilisant des estimées nouvelles pour des solutions faibles d’équations p-harmoniques.