On the existence of homoclinic solutions for almost periodic second order systems

Abstract

In this paper we prove the existence of at least one homoclinic solution for a second order Lagrangian system, where the potential is an almost periodic function of time. This result generalizes existence theorems known to hold when the dependence on time of the potential is periodic. The method is of a variational nature, solutions being found as critical points of a suitable functional. The absence of a group of symmetries for which the functional is invariant (as in the case of periodic potentials) is replaced by the study of problems “at infinity” and a suitable use of a property introduced by E. Séré.

Résumé

Dans cet article on démontre l’existence d’une solution homocline pour un système Lagrangien du deuxième ordre où le potentiel dépend du temps d’une façon quasi périodique. Ce résultat généralise le cas où le potentiel est une fonction périodique du temps. La méthode utilisée est variationnelle, les solutions étant trouvées comme points critiques d’une fonctionnelle. L’absence d’un groupe de symétries pour lequel la fonctionnelle est invariante (comme dans le cas des potentiels périodiques) est remplacée par l’étude des points critiques « à l’infini » et par une propriété introduite par E. Séré.