JournalsaihpcVol. 26, No. 5pp. 1585–1605

An optimal partial regularity result for minimizers of an intrinsically defined second-order functional

  • Christoph Scheven

    Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf, Universitätsstraße 1, 40225 Düsseldorf, Germany
An optimal partial regularity result for minimizers of an intrinsically defined second-order functional cover
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Abstract

For a compact Riemannian manifold N and a domain ΩRm\Omega \subset \mathbb{R}^{m}, we consider the intrinsic bi-energy

E2(u):=ΩDu2dx\mathscr{E}_{2}(u): = \int \limits_{\Omega }|\mathrm{∇}Du|^{2}\:dx

for maps u:ΩNu\::\Omega \rightarrow N. We prove that the minimizers of E2\mathscr{E}_{2} constructed by R. Moser satisfy uWloc2,2(Ω,N)u∊W_{\mathrm{loc}}^{2,2}(\Omega ,N). Furthermore, we apply a dimension reduction argument in order to show H-dim(sing(u))m5\mathscr{H}\text{-}\mathrm{\dim }(\mathrm{\sin g}(u))⩽m−5 for all minimizers uW2,2(Ω,N)u∊W^{2,2}(\Omega ,N) of the functional E2\mathscr{E}_{2}. This result is optimal since we show that the map u0:BmSm1u_{0}\::B^{m}\rightarrow S^{m−1}, xxxx\mapsto \frac{x}{|x|} minimizes E2\mathscr{E}_{2} in its Dirichlet class for m5m⩾5.

Résumé

Pour une variété riemanienne compacte et un domaine ΩRm\Omega \subset \mathbb{R}^{m}, nous considérons la bi-énergie intrinsèque

E2(u):=ΩDu2dx\mathscr{E}_{2}(u): = \int \limits_{\Omega }|\mathrm{∇}Du|^{2}\:dx

pour les applications u:ΩNu\::\Omega \rightarrow N. Nous démontrons que les minimiseurs de E2\mathscr{E}_{2} construée par R. Moser satisfont uWloc2,2(Ω,N)u∊W_{\mathrm{loc}}^{2,2}(\Omega ,N). En outre, nous utilisons une méthode de réduction de la dimension pour prouver H-dim(sing(u))m5\mathscr{H}\text{-}\mathrm{\dim }(\mathrm{\sin g}(u))⩽m−5 pour tout minimiseur uW2,2(Ω,N)u∊W^{2,2}(\Omega ,N) de la fonctionnelle E2\mathscr{E}_{2}. Ce résultat est optimal parce que nous démontrons que l'application u0:BmSm1u_{0}\::B^{m}\rightarrow S^{m−1}, xxxx\mapsto \frac{x}{|x|} minimise E2\mathscr{E}_{2} dans sa classe de Dirichlet pour m5m⩾5.

Cite this article

Christoph Scheven, An optimal partial regularity result for minimizers of an intrinsically defined second-order functional. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 5, pp. 1585–1605

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2008.07.002