An optimal partial regularity result for minimizers of an intrinsically defined second-order functional

Abstract

For a compact Riemannian manifold $N$ and a domain $\Omega \subset {\mathbb{R}}^m$, we consider the intrinsic bi-energy

for maps $u:\Omega \to N$. We prove that the minimizers of ${\mathcal{E}}_2$ constructed by R. Moser satisfy $u∊W_{\mathrm{loc}}^{2,2}(\Omega ,N)$. Furthermore, we apply a dimension reduction argument in order to show $\mathcal{H}\text{-}\dim (\sin \mathrm{g}(u))⩽m-5$ for all minimizers $u∊W^{2,2}(\Omega ,N)$ of the functional ${\mathcal{E}}_2$. This result is optimal since we show that the map $u_0:B^m\to S^{m-1}$, $x\mapsto \frac{x}{|x|}$ minimizes ${\mathcal{E}}_2$ in its Dirichlet class for $m⩾5$.

Résumé

Pour une variété riemanienne compacte et un domaine $\Omega \subset {\mathbb{R}}^m$, nous considérons la bi-énergie intrinsèque

pour les applications $u:\Omega \to N$. Nous démontrons que les minimiseurs de ${\mathcal{E}}_2$ construée par R. Moser satisfont $u∊W_{\mathrm{loc}}^{2,2}(\Omega ,N)$. En outre, nous utilisons une méthode de réduction de la dimension pour prouver $\mathcal{H}\text{-}\dim (\sin \mathrm{g}(u))⩽m-5$ pour tout minimiseur $u∊W^{2,2}(\Omega ,N)$ de la fonctionnelle ${\mathcal{E}}_2$. Ce résultat est optimal parce que nous démontrons que l'application $u_0:B^m\to S^{m-1}$, $x\mapsto \frac{x}{|x|}$ minimise ${\mathcal{E}}_2$ dans sa classe de Dirichlet pour $m⩾5$.