JournalsaihpcVol. 26, No. 5pp. 1897–1924

Generalised twists, SO(n) SO\left(\right.n\left.\right) , and the p-energy over a space of measure preserving maps

  • M.S. Shahrokhi-Dehkordi

    Department of Mathematics, University of Sussex, Falmer BN1 9RF, England, UK
  • A. Taheri

    Department of Mathematics, University of Sussex, Falmer BN1 9RF, England, UK
Generalised twists, \( SO\left(\right.n\left.\right) \), and the p-energy over a space of measure preserving maps cover
Download PDF

Abstract

Let ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n} be a bounded Lipschitz domain and consider the energy functional

\mathbb{F}_{p}[\mathbf{u},\Omega ]: = p^{−1}\int \limits_{\Omega }\left|\mathrm{∇}\mathbf{u}(\mathbf{x})\left|^{p}\:d\mathbf{x},\right.

with p∊1,\infty [\right. over the space of measure preserving maps

Ap(Ω)={uW1,p(Ω,Rn):uΩ=x,detu=1a.e. inΩ}.\mathscr{A}_{p}(\Omega ) = \left\{\mathbf{u}∊W^{1,p}\left(\Omega ,\mathbb{R}^{n}\right):\:\mathbf{u}|_{\partial \Omega } = \mathbf{x},\:\mathrm{\det }\mathrm{∇}\mathbf{u} = 1\text{a.e. in}\Omega \right\}.

In this paper we introduce a class of maps referred to as generalised twists and examine them in connection with the Euler–Lagrange equations associated with Fp\mathbb{F}_{p} over Ap(Ω)\mathscr{A}_{p}(\Omega ). The main result is a surprising discrepancy between even and odd dimensions. Here we show that in even dimensions the latter system of equations admit infinitely many smooth solutions, modulo isometries, amongst such maps. In odd dimensions this number reduces to one. The result relies on a careful analysis of the full versus the restricted Euler–Lagrange equations where a key ingredient is a necessary and sufficient condition for an associated vector field to be a gradient.

Résumé

Soit ΩRn\Omega \subset \mathbb{R}^{n} un domaine de Lipschitz borné, on considère la fonctionnelle d'énergie

\mathbb{F}_{p}[\mathbf{u},\Omega ]: = p^{−1}\int \limits_{\Omega }\left|\mathrm{∇}\mathbf{u}(\mathbf{x})\left|^{p}\:d\mathbf{x},\right.

p∊1,\infty [\right. sur l'espace de fonctions conservant la mesure

Ap(Ω)={uW1,p(Ω,Rn):uΩ=x,detu=1a.a. dansΩ}.\mathscr{A}_{p}(\Omega ) = \left\{\mathbf{u}∊W^{1,p}\left(\Omega ,\mathbb{R}^{n}\right):\:\mathbf{u}|_{\partial \Omega } = \mathbf{x},\:\mathrm{\det }\mathrm{∇}\mathbf{u} = 1\text{a.a. dans}\Omega \right\}.

On introduit une classe de fonctions appellée des torsions généralisée qui est examinée dans le cadre des équations d'Euler–Lagrange associée à Fp\mathbb{F}_{p} sur Ap(Ω)\mathscr{A}_{p}(\Omega ). Le résultat principal est une surprenante différence de proprieté selon le parité de le dimension n. On démontre que pour n pair, ces équations admettent une infinité de solutions régulières qui sont des isometries, alors qu'en dimension impaire la solution est unique. Le résultat repose sur une analyse minutieuse de la version complète des équations d'Euler–Lagrange où l'ingrédient clé est une condition nécessaire et suffisante pour qu'un champ vectoriel soit un gradient.

Cite this article

M.S. Shahrokhi-Dehkordi, A. Taheri, Generalised twists, SO(n) SO\left(\right.n\left.\right) , and the p-energy over a space of measure preserving maps. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 5, pp. 1897–1924

DOI 10.1016/J.ANIHPC.2009.03.003