New results on Γ-limits of integral functionals

Abstract

For $\psi \in W^{1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^m)$ and $g\in W^{-1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^d)$, $1<p<+\infty$, we consider a sequence of integral functionals $F_k^{\psi ,g}:W^{1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^m)\times L^p(\Omega ;{\mathbb{R}}^{d\times n})\to [0,+\infty ]$ of the form

where the integrands $f_k$ satisfy growth conditions of order p, uniformly in k. We prove a Γ-compactness result for $F_k^{\psi ,g}$ with respect to the weak topology of $W^{1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^m)\times L^p(\Omega ;{\mathbb{R}}^{d\times n})$ and we show that under suitable assumptions the integrand of the Γ-limit is continuously differentiable. We also provide a result concerning the convergence of momenta for minimizers of $F_k^{\psi ,g}$.

Résumé

Pour tout $\psi \in W^{1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^m)$ et $g\in W^{-1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^d)$, $1<p<+\infty$, nous considérons une suite de fonctionnelles intégrales $F_k^{\psi ,g}:W^{1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^m)\times L^p(\Omega ;{\mathbb{R}}^{d\times n})\to [0,+\infty ]$ définies par

où les intégrandes $f_k$ satisfont des conditions de croissance d'ordre p, uniformément en k. Nous démontrons un résultat de Γ-compacité pour $F_k^{\psi ,g}$ par rapport à la topologie faible sur $W^{1,p}(\Omega ;{\mathbb{R}}^m)\times L^p(\Omega ;{\mathbb{R}}^{d\times n})$ et nous prouvons que sous des conditions appropriées, l'intégrande de la Γ-limite est continûment différentiable. Nous montrons également un résultat de convergence des moments pour les minima de $F_k^{\psi ,g}$.