Morse theory of causal geodesics in a stationary spacetime via Morse theory of geodesics of a Finsler metric

Abstract

We show that the index of a lightlike geodesic in a conformally standard stationary spacetime $({\mathcal{M}}_0\times \mathbb{R},g)$ is equal to the index of its spatial projection as a geodesic of a Finsler metric $F$ on ${\mathcal{M}}_0$ associated to $({\mathcal{M}}_0\times \mathbb{R},g)$. Moreover we obtain the Morse relations of lightlike geodesics connecting a point $p$ to a curve $\gamma (s)=(q_0,s)$ by using Morse theory on the Finsler manifold $({\mathcal{M}}_0,F)$. To this end, we prove a splitting lemma for the energy functional of a Finsler metric. Finally, we show that the reduction to Morse theory of a Finsler manifold can be done also for timelike geodesics.

Résumé

On démontre que l'indice d'un rayon de lumière dans un espace-temps stationnaire $({\mathcal{M}}_0\times \mathbb{R},g)$ conformément standard est égal à l'indice de sa projection spatiale vue comme une géodésique d'une métrique de Finsler $F$ sur ${\mathcal{M}}_0$ associée à $({\mathcal{M}}_0\times \mathbb{R},g)$. De plus, on obtient les relations de Morse de géodésiques isotropes reliant un point $p$ à une courbe $\gamma (s)=(q_0,s)$ en utilisant la théorie de Morse sur la variété de Finsler $({\mathcal{M}}_0,F)$. À cette fin, on démontre un lemme de séparation de la fonctionnelle de l'énergie d'une métrique de Finsler. Enfin, on montre que la réduction à la théorie de Morse d'une variété de Finsler peut être faite aussi pour les géodésiques temporelles.