Une théorie de Morse pour les systèmes hamiltoniens convexes

Abstract

This paper deals with convex Hamiltonian systems. It is shown that, on any prescribed energy level, either the closed trajectories are infinitely many, or they fulfil a resonance condition. It follows that, generically, there are infinitely many closed trajectories on a prescribed energy level. A dual form of the least action principle, Morse theory, an iteration formula for the index, and Thom’s transversality theorem, are used to obtain these results.

Résumé

On s’intéresse à des systèmes hamiltoniens convexes. On démontre que, sur une surface d’énergie donnée, ou bien les trajectoires fermées sont en nombre infini, ou bien elles vérifient une relation de résonance. On en déduit que génériquement, les trajectoires fermées sont en nombre infini. La démonstration repose sur une forme duale du principe de moindre action, sur la théorie de Morse, sur une formule d’itération pour l’index, et sur le théorème de transversalité de Thom.