Approximate controllability for a system of Schrödinger equations modeling a single trapped ion

Abstract

In this article, we analyze the approximate controllability properties for a system of Schrödinger equations modeling a single trapped ion. The control we use has a special form, which takes its origin from practical limitations. Our approach is based on the controllability of an approximate finite dimensional system for which one can design explicitly exact controls. We then justify the approximations which link up the complete and approximate systems. This yields approximate controllability results in the natural space $(L^2(\mathbb{R}{)}^2)$ and also in stronger spaces corresponding to the domains of powers of the harmonic operator.

Résumé

Dans cet article, nous étudions les propriétés de contrôlabilité approchée pour un système d'équations de Schrödinger modélisant un ion piégé. Nous nous limitons à un contrôle d'une forme particulière, correspondant à des restrictions pratiques. Notre approche est fondée sur l'analyse de la contrôlablité d'un système approché de dimension finie, pour lequel il est possible de construire explicitement des contrôles exacts. Nous justifions alors précisément les approximations qui relient le système complet au système approché. Nous en déduisons des résultats de contrôlabilité approchée dans l'espace naturel $(L^2(\mathbb{R}{)}^2)$ mais aussi dans des espaces plus forts correspondants aux domaines des puissances de l'opérateur harmonique.