The lifespan of spherically symmetric solutions of the compressible Euler equations outside an impermeable sphere

Abstract

We consider smooth three-dimensional spherically symmetric Eulerian flows of ideal polytropic gases outside an impermeable sphere, with initial data equal to the sum of a constant flow with zero velocity and a smooth perturbation with compact support. Under a natural assumption on the form of the perturbation, we obtain precise information on the asymptotic behavior of the lifespan as the size of the perturbation tends to 0. When there is no sphere, so that the flow is defined in all space, corresponding results have been obtained in [P. Godin, The lifespan of a class of smooth spherically symmetric solutions of the compressible Euler equations with variable entropy in three space dimensions, Arch. Ration. Mech. Anal. 177 (2005) 479–511].

Résumé

Nous considérons des écoulements eulériens tridimensionnels lisses à symétrie sphérique de gaz parfaits polytropiques à l'extérieur d'une sphère imperméable, avec des données initiales somme d'un écoulement constant de vitesse nulle et d'une perturbation lisse à support compact. Sous une hypothèse naturelle sur la forme de la perturbation, nous obtenons une information précise sur le comportement asymptotique de la durée de vie quand la taille de la perturbation tend vers 0. S'il n'y a pas de sphère, de sorte que l'écoulement est défini dans tout l'espace, des résultats correspondants ont été obtenus dans [P. Godin, The lifespan of a class of smooth spherically symmetric solutions of the compressible Euler equations with variable entropy in three space dimensions, Arch. Ration. Mech. Anal. 177 (2005) 479–511].