Random data Cauchy problem for supercritical Schrödinger equations

Abstract

In this paper we consider the Schrödinger equation with power-like nonlinearity and confining potential or without potential. This equation is known to be well-posed with data in a Sobolev space ${\mathcal{H}}^s$ if $s$ is large enough and strongly ill-posed is $s$ is below some critical threshold $s_c$. Here we use the randomisation method of the inital conditions, introduced by N. Burq and N. Tzvetkov, and we are able to show that the equation admits strong solutions for data in ${\mathcal{H}}^s$ for some $s<s_c$.

Résumé

Dans cet article on s'intéresse à l'équation de Schrödinger avec non-linéarité polynômiale et potentiel confinant ou sans potentiel. Cette équation est bien posée pour des données dans un espace de Sobolev ${\mathcal{H}}^s$ si $s$ est assez grand, et fortement instable si $s$ est sous un certain seuil critique $s_c$. Grâce à une randomisation des conditions initiales, comme l'ont fait N. Burq et N. Tzvetkov, on est capable de construire des solutions fortes pour des données dans ${\mathcal{H}}^s$ avec des $s<s_c$.