Homogenization of p-Laplacian in perforated domain
L. Pankratov
Laboratoire de Mathématiques et leur Applications, CNRS-UMR5142, Université de Pau, Av. de l'Université, 64000 Pau, France; Department of Mathematics, B.Verkin Institut for Low Temperature Physics and Engineering, 47, av. Lenin, 61103, Kharkov, UkraineA. Piatnitski
Narvik University College, Postbox 385, Narvik, 8505, Norway; Lebedev Physical Institute RAS, leninski prospect 53, Moscow, 119991, RussiaB. Amaziane
Laboratoire de Mathématiques et leur Applications, CNRS-UMR5142, Université de Pau, Av. de l'Université, 64000 Pau, FranceS. Antontsev
CMAF, Universidade de Lisboa, Av. Prof. Gama Pinto, 2, 1649-003, Lisboa, Portugal
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Abstract
We study the homogenization of the following nonlinear Dirichlet variational problem:
in a perforated domain , , where is a small positive parameter that characterizes the scale of the microstructure. The non-standard exponent is assumed to be an oscillating continuous function in such that, for any , in ; for any , with ; and converges uniformly in to a function which satisfies the same properties. Moreover, we assume that in . Denoting a minimizer in the above variational problem, without any periodicity assumption, for a large range of perforated domains we find, by means of the variational homogenization technique, the global behavior of as tends to zero. It is shown that extended by zero in , converges weakly in to the solution of the following nonlinear variational problem:
where the function is defined in terms of the local characteristic of . This result is then illustrated with a periodic and a non-periodic examples.
Résumé
Nous étudions l'homogénéisation du problème variationnel de Dirichlet nonlinéaire suivant :
dans un domaine perforé , , où est un petit paramètre qui caractérise la taille des perforations. La fonction puissance est nonstandard et supposée être une fonction continue et oscillante dans . Elle vérifie, pour tout , dans , pour tout , avec ; et elle est uniformément convergente dans vers une fonction qui vérifie les mêmes propriétés. De plus, on suppose que dans . On note une solution du problème de minimisation variationnel ci-dessus, sans hypothèse de périodicité et pour différents milieux perforés, on trouve le problème limite décrivant le comportement global de lorsque tend vers zéro, en utilisant la technique de l'homogénéisation variationnelle. On montre que , prolongée par zéro dans , converge faiblement dans , quand tend vers zéro, vers la solution du problème variationel nonlinéaire suivant :
où la fonction est définie à partir des caractéristiques géométriques locales du domaine . Enfin, nous présentons deux exemples, un périodique et l'autre nonpériodique, pour illustrer les résultats obtenus.
Cite this article
L. Pankratov, A. Piatnitski, B. Amaziane, S. Antontsev, Homogenization of p-Laplacian in perforated domain. Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 26 (2009), no. 6, pp. 2457–2479
DOI 10.1016/J.ANIHPC.2009.06.004