Homogenization of p-Laplacian in perforated domain

Abstract

We study the homogenization of the following nonlinear Dirichlet variational problem:

in a perforated domain ${\Omega }^{\varepsilon }=\Omega \setminus {\mathcal{F}}^{\varepsilon }\subset {\mathbb{R}}^n$, $n⩾2$, where $\varepsilon$ is a small positive parameter that characterizes the scale of the microstructure. The non-standard exponent $p_{\varepsilon }(x)$ is assumed to be an oscillating continuous function in $\bar{\Omega }$ such that, for any $\varepsilon >0$, $1<p_{\varepsilon }(x)⩽n$ in $\Omega$; for any $x,y\in \Omega$, $|p_{\varepsilon }(x)-p_{\varepsilon }(y)|⩽{\omega }_{\varepsilon }(|x-y|)$ with ${\overline{\lim }}_{\tau \to 0}{\omega }_{\varepsilon }(\tau )\ln (1/\tau )=0$; and converges uniformly in $\Omega$ to a function $p_0$ which satisfies the same properties. Moreover, we assume that $p_{\varepsilon }(x)⩾p_0(x)$ in $\Omega$. Denoting $u^{\varepsilon }$ a minimizer in the above variational problem, without any periodicity assumption, for a large range of perforated domains we find, by means of the variational homogenization technique, the global behavior of $u^{\varepsilon }$ as $\varepsilon$ tends to zero. It is shown that $u^{\varepsilon }$ extended by zero in ${\mathcal{F}}^{\varepsilon }$, converges weakly in $W^{1,p_0(\cdot )}(\Omega )$ to the solution of the following nonlinear variational problem:

where the function $c(x,u)$ is defined in terms of the local characteristic of ${\Omega }^{\varepsilon }$. This result is then illustrated with a periodic and a non-periodic examples.

Résumé

Nous étudions l'homogénéisation du problème variationnel de Dirichlet nonlinéaire suivant :

dans un domaine perforé ${\Omega }^{\varepsilon }=\Omega \setminus {\mathcal{F}}^{\varepsilon }\subset {\mathbb{R}}^n$, $n⩾2$, où $\varepsilon >0$ est un petit paramètre qui caractérise la taille des perforations. La fonction puissance $p_{\varepsilon }(x)$ est nonstandard et supposée être une fonction continue et oscillante dans $\bar{\Omega }$. Elle vérifie, pour tout $\varepsilon >0$, $1<p_{\varepsilon }(x)⩽n$ dans $\Omega$, pour tout $x,y\in \Omega$, $|p_{\varepsilon }(x)-p_{\varepsilon }(y)|⩽{\omega }_{\varepsilon }(|x-y|)$ avec ${\overline{\lim }}_{\tau \to 0}{\omega }_{\varepsilon }(\tau )\ln (1/\tau )=0$ ; et elle est uniformément convergente dans $\Omega$ vers une fonction $p_0$ qui vérifie les mêmes propriétés. De plus, on suppose que $p_{\varepsilon }(x)⩾p_0(x)$ dans $\Omega$. On note $u^{\varepsilon }$ une solution du problème de minimisation variationnel ci-dessus, sans hypothèse de périodicité et pour différents milieux perforés, on trouve le problème limite décrivant le comportement global de $u^{\varepsilon }$ lorsque $\varepsilon$ tend vers zéro, en utilisant la technique de l'homogénéisation variationnelle. On montre que $u^{\varepsilon }$, prolongée par zéro dans ${\mathcal{F}}^{\varepsilon }$, converge faiblement dans $W^{1,p_0(\cdot )}(\Omega )$, quand $\varepsilon$ tend vers zéro, vers la solution $u$ du problème variationel nonlinéaire suivant :

où la fonction $c(x,u)$ est définie à partir des caractéristiques géométriques locales du domaine ${\Omega }^{\varepsilon }$. Enfin, nous présentons deux exemples, un périodique et l'autre nonpériodique, pour illustrer les résultats obtenus.