The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations. The locally compact case, part 1.

Abstract

We present here a new method for solving minimization problems in unbounded domains. We first derive a general principle showing the equivalence between the compactness of all minimizing sequences and some strict sub-additivity conditions. The proof is based upon a compactness lemma obtained with the help of the notion of concentration function of a measure. We give various applications to problems arising in Mathematical Physics.

Résumé

Nous présentons ici une méthode nouvelle de résolution des problèmes de minimisation dans des domaines non bornés. Nous commençons par établir un principe général montrant l’équivalence entre la compacité de toutes les suites minimisantes et certaines conditions de sous-additivité stricte. La démonstration s’appuie sur un lemme de compacité obtenu à l’aide de la notion de fonction de concentration d’une mesure. Nous donnons diverses applications à des problèmes de physique mathématique.