On the global Cauchy problem for some non linear Schrödinger equations

Abstract

We study the Cauchy problem for a class of non linear Schrödinger equations in space time dimension $n+1$. We look for solutions which are continuous functions of time with values in the Sobolev space $H^k(R^n)$, $k>n/2$. Under suitable assumptions on the interactions, we prove in particular the existence of global solutions for $n\le 7$. The global existence proof breaks down for $n\ge 8$.

Résumé

On étudie le problème de Cauchy pour une classe d’équations de Schrödinger non linéaires en dimension $n+1$ d’espace temps. On cherche des solutions fonctions continues du temps à valeurs dans l’espace de Sobolev $H^k(R^n)$), $k>n/2$. Sous des hypothèses convenables sur les interactions, on prouve en particulier l’existence de solutions globales pour $n\le 7$. La démonstration d’existence globale ne s’applique pas pour $n\ge 8$.