Équation de Burgers avec conditions initiales à accroissements indépendants et homogènes

Abstract

We study here solutions of inviscid Burgers equation with a stochastic initial value with homogeneous and independent increments without positive jumps. We define the notion of intrinsic statistical solution of this evolution equation and show that a family $(X(t);t\ge 0)$ of homogeneous Lévy processes is an intrinsic statistical solution of Burgers equation if and only if the exponent functions $\psi (t,w)$ satisfy the differential equation: ${\partial }_t\psi =i\psi {\partial }_w\psi$. The existence of such solutions follows then from the examination of that last equation. The case of a brownian initial condition is made explicit.

Résumé

On s’intéresse ici aux solutions de l’équation de Burgers non visqueuse avec condition initiale à accroissements indépendants et homogènes, à sauts négatifs. On dégage la notion de solution statistique intrinsèque de cette équation d’évolution et on montre qu’une famille $(X(t);t\ge 0)$ de processus de Lévy homogènes est solution statistique intrinsèque de l’équation de Burgers si et seulement si les fonctions exposants $\psi (t,w)$ satisfont l’équation: ${\partial }_t\psi =i\psi {\partial }_w\psi$. L’étude de cette équation permet d’établir l’existence d’une telle solution. Le cas d’une condition initiale brownienne est explicité.