Stationary solutions for the Cahn–Hilliard equation

Abstract

We study the Cahn–Hilliard equation in a bounded domain without any symmetry assumptions. We assume that the mean curvature of the boundary has a nondegenerate critical point. Then we show that there exists a spike-like stationary solution whose global maximum lies on the boundary. Our method is based on Lyapunov–Schmidt reduction and the Brouwer fixed-point theorem.

Résumé

Nous étudions l’équation de Cahn et Hilliard dans un domaine ouvert en ne supposant de symétrie pour le domaine. Nous supposons que la courbure moyenne sur la frontière a un point critique non dégénéré. Nous montrons qu’il existe une solution stationnaire avec un pic qui atteint son maximum sur la frontière du domaine. Notre méthode utilise la réduction de Lyapunov et Schmidt et le théorème du point fixe de Brouwer.