Abstract

For $2 - \frac{1}{2}\<p\<n$ we prove existence of a distributional solution u of the p-harmonic system

where Ω is an open subset of ℝn (bounded or unbounded), u : Ω → ℝm, and μ is an ℝm-valued Radon measure of finite mass. For the solution u we establish the Lorentz space estimate

with $q = \frac{n}{n - 1}\left(p - 1\right)$ and $q* = \frac{n}{n - p}\left(p - 1\right)$. The main step in the proof is to show that for suitable approximations the gradients Duk converge a.e. This is achieved by a choice of regularized test functions and a localization argument to compensate for the fact that in general u ∉ W1,p.

Résumé

Soit 2 − 1/n < p < n, Ω un ensemble ouvert de ℝn (borné ou non borné) et μ une mesure de Radon avec masse finite. On démontre que le système p-harmonique

possède une solution distributionnelle. Pour cette solution on établit des estimations dans les espaces de Lorentz.

lci, $q = \frac{n}{n - 1}\left(p - 1\right)$ et $q* = \frac{n}{n - p}\left(p - 1\right)$. Le pas le plus important est de démontrer que, pour des approximations propres, les gradients Duk convergent presque partout. Celà est fait en choisissant des fonctions de test régularisées et en appliquant un argument de localisation pour compenser que, en général, u ∉ W1,p.