The p-harmonic system with measure-valued right hand side

Abstract

For $2-\frac{1}{n}<p<n$ we prove existence of a distributional solution $u$ of the $p$-harmonic system

where $\Omega$ is an open subset of $R^n$ (bounded or unbounded), $u:\Omega \to R^m$, and $\mu$ is an $R^m$-valued Radon measure of finite mass. For the solution $u$ we establish the Lorentz space estimate

with $q=\frac{n}{n-1}\left(p-1\right)$ and $q^{\ast }=\frac{n}{n-p}\left(p-1\right)$. The main step in the proof is to show that for suitable approximations the gradients $D{u}_k$ converge a.e. This is achieved by a choice of regularized test functions and a localization argument to compensate for the fact that in general $u\notin W^{1,p}$.

Résumé

Soit $2-\frac{1}{n}<p<n$, $\Omega$ un ensemble ouvert de $R^n$ (borné ou non borné) et μ une mesure de Radon avec masse finite. On démontre que le système $p$-harmonique

possède une solution distributionnelle. Pour cette solution on établit des estimations dans les espaces de Lorentz.

lci, $q=\frac{n}{n-1}\left(p-1\right)$ et $q^{\ast }=\frac{n}{n-p}\left(p-1\right)$. Le pas le plus important est de démontrer que, pour des approximations propres, les gradients $D{u}_k$ convergent presque partout. Celà est fait en choisissant des fonctions de test régularisées et en appliquant un argument de localisation pour compenser que, en général, $u\notin W^{1,p}$.