Minoration du temps d’existence pour l’équation de Klein–Gordon non-linéaire en dimension 1 d’espace

Abstract

Let $u$ be a solution to the semilinear Klein–Gordon equation in one space dimension

where $F$ is a quadratic nonlinearity and the Cauchy data $u{|}_{t=0}=ϵu_0$, ${\partial }_{t}u{|}_{t=0}=ϵu_1$ are small in $C_0^{\infty }$. Moriyama, Tonegawa and Tsutsumi have shown that the time of existence of the solution satisfies $\lim {\inf }_{ϵ\to 0}{ϵ}^2\log T_{ϵ}>0$. The aim of this paper is to prove that $\lim {\inf }_{ϵ\to 0}{ϵ}^2\log T_{ϵ}\ge A$ for a constant $A$ which can be explicitly computed from the Cauchy data and the nonlinearity.

Résumé

Soit $u$ la solution de l’équation de Klein–Gordon semi-linéaire en dimension 1 d’espace

avec une nonlinéarité $F$ quadratique et des données de Cauchy petites, $C^{\infty }$ à support compact, $u{|}_{t=0}=ϵu_0$, ${\partial }_{t}u{|}_{t=0}=ϵu_1$. Moriyama, Tonegawa et Tsutsumi ont montré que le temps d’existence $T_{ϵ}$ de la solution vérifie alors $\lim {\inf }_{ϵ\to 0}{ϵ}^2\log T_{ϵ}>0$. Le but de cet article est de montrer que $\lim {\inf }_{ϵ\to 0}{ϵ}^2\log T_{ϵ}\ge A$, où $A$ est une constante explicite s’exprimant en fonction de $u_0$, $u_1$ et de la nonlinéarité.