Qualitative properties of positive solutions of semilinear elliptic equations in symmetric domains via the maximum principle

Abstract

In this paper we study the positive solutions of the equation $-\Delta u+\lambda u=f(u)$ in a bounded symmetric domain $\Omega$ in $R^N$, with the boundary condition $u=0$ on $\partial \Omega$. Using the maximum principle we prove the symmetry of the solutions $v$ of the linearized problem. From this we deduce several properties of $v$ and $u$; in particular we show that if $N=2$ there cannot exist two solutions which have the same maximum if $f$ is also convex and that there exists only one solution if $f(u)=u^p$ and $\lambda =0$.

In the final section we consider the problem $-\Delta u=u^p+\mu u^q$ in $\Omega$ with $u=0$ on $\partial \Omega$, and show that if $1<p<\frac{N+2}{N-2}$, $q$ on $]0,1[$ there are exactly two positive solutions for $\mu$ sufficiently small and some particular domain $\Omega$.

Résumé

Dans ce travail nous étudions les solutions positives du problème

où $\Omega$ est un domaine borné et symétrique dans $R^N$.

Avec l’aide du principe de maximum nous prouvons la symétrie des solutions $v$ du problème linéarisé. A partir de ce résultat nous déduisons plusieurs propriétés de $v$ et $u$; en particulier nous montrons que si $f$ est convexe et $N=2$ on ne peut pas avoir deux solutions différentes qui ont le même maximum. On prouve aussi qu’il y a une seule solution si $f(u)=u^p$ et $\lambda =0$.

Dans la dernière section nous étudions le problème

et montrons que si $1<p<N+2/N-2$, $0<q<1$ et $\mu$ est petite il y a exactement deux solutions positives dans quelques domaines particuliers.