$C^{\infty }$ regularity of solutions of the Levi equation

Abstract

We will prove the $C^{\infty }$ regularity of the classical solutions of the equation

where

$q\in C^{\infty }(\Omega )$ and $q(\xi )\ne 0$ for every $\xi \in \Omega$. This is a second order quasilinear equation, whose characteristic form has zero determinant at every point, and for every function $u$. However we will write it as a sum of squares of nonlinear vector fields, and we will extablish the result by means of a suitable freezing method.

Résumé

Nous prouvons la régularité $C^{\infty }$ des solutions classiques de l’équation

où

$q\in C^{\infty }\left(\Omega \right)$ et $q(\xi )\ne 0$ pour tout $\xi \in \Omega$. Il s’agit d’une équation quasilinéaire du second ordre, dont le déterminant du symbole principal est nul en tout point $\xi$, et pour toute fonction $u$. Nous écrivons l’équation comme une somme de carrés de champs de vecteurs, et nous prouvons le résultat en employant une méthode « freesing å.