Evolution equations governed by families of weighted operators

Abstract

In order to develop a Lebesgue approach for the fully non-linear non autonomous evolution problem, $C{P}_A^{\alpha }=\left\{\frac{du}{dt}+\alpha \left(t\right)A_{\alpha }\left(t\right)u∍0\right\}$ with $t\in I\subseteq [0,T]$, in an arbitrary Banach space $X$, we define an abstract $L^1$-comparison mode (called coherence) between multivalued time dependent families of operators $(A_{\alpha }(s){)}_{s\in I}$ and $(B_{\beta }(t){)}_{t\in J}$ defined on compact subintervals $I$ and $J$ of $[0,T]$ and weighted by functions $\alpha$ and $\beta$ which belong to $L^{\infty }([0,T];R^{+})$. The solutions of these problems are limit of discrete schemes and the crucial point is to define these approximations in a Lebesgue sense. The results about this Cauchy problem consist in existence of an evolution operator, integral inequalities (extending Bénilan's inequalities for integral solutions), and continuous properties; they extend the theory of evolution equations initiated at the beginning of the seventeenth by Crandall, Liggett, Bénilan, Kobayashi, Evans, ([10], [12], …), and include more recent generalizations as in [18] and [6]. This general study motivated by the observation problem of a heat exchanger (see [16]) where a $L^{\infty }$control multiplies an unbounded operator, establishes in Theorem 3.4 a suitable continuity property with respect to the weak${}^{\ast }$ topology on the weights (see applications in [3], [7], [20], …).

Résumé

Ce papier esquisse une approche de type Lebesgue des problèmes d'évolution pleinement non linéaires $C{P}_A^{\alpha }=\left\{\frac{du}{dt}+\alpha \left(t\right)A_{\alpha }\left(t\right)u∍0\right\}$ avec $t\in I\subseteq [0,T]$ dans un espace de Banach quelconque. Pour cela nous définissons un mode de comparaison (nommé cohérence) entre familles d'opérateurs multivoques$(A_{\alpha }(s){)}_{s\in I}$ et $(B_{\beta }(t){)}_{t\in J}$ définies sur des sous-intervalles compacts $I$ et $J$ de $[0,T]$ et pondérées par des fonctions $\alpha$ et $\beta$ de $L^{\infty }([0,T];R^{+})$. Pour les problèmes d'évolution considérés les solutions sont des limites de schémas discrets: le point crucial est alors de définir ces approximations sur un ensemble dénombrable de noeuds (et donc de mesure nulle) en un sens compatible avec une infinité de classes de fonctions Lebesgue intégrables générées par notre approche. Nous mettons ainsi en évidence pour les problèmes de Cauchy $C{P}_A^{\alpha }$ un opérateur d'évolution, des inégalités intégrales (généralisant les inégalités des solutions intégrales de Bénilan) et des propriétés de continuité: ces résultats étendent des travaux de Crandall, Liggett, Bénilan, Kobayashi, Evans, ([10], [12], …), et absorbent des généralisations plus récentes obtenues dans [18] et [6]. Cette étude motivée par un problème d'observabilité pour un échangeur thermique (voir [16]) où un contrôle $L^{\infty }$ agit multiplicativement sur un opérateur non borné, contient en outre (Théorème 3.4) une propriété de continuité vis-à-vis de la topologie ${}^{\ast }$-faible des poids dans $L^{\infty }$ (cf. [3], [7], [20], … pour les applications).