Abstract

We study the equation ut − Δu = uP − μ|∇u|q, t ≥ 0 in a general (possibly unbounded) domain Ω ⊂ ℝN. When q ≥ p, we show a close connection between the Poincaré inequality and the boundedness of the solutions. To be more precise, if q > p (or q = p and μ large enough), we prove global existence of all solutions for any domain Ω where the Poincaré inequality is valid. When μ is large enough, all solutions are bounded and decay exponentially to zero. Conversely, if Ω contains arbitrarily large balls (if N < 2 and Ω is finitely connected, this means precisely that the Poincaré inequality does not hold), then there always exist unbounded solutions. Moreover, if Ω = ℝN, there exist global solutions which blow-up at every point in infinite time. Various qualitative properties of the solutions are also obtained.

Résumé

Nous étudions l'équation ut − Δu = uP − μ|∇u|q, t ≥ 0 dans un domaine Ω ⊂ ℝN général, éventuellement non borné. Lorsque q ≥ p, nous montrons l'existence d'un lien étroit entre l'inégalité de Poincaré et le caractère borné des solutions. Plus précisément, si q > p (ou si q = p et μ est assez grand), nous prouvons l'existence globale de toutes les solutions, dans tout domaine Ω ou l'inégalité de Poincaré est vérifiée. Lorsque μ est suffisamment grand, toutes les solutions sont bornées et tendent exponentiellement vers zéro. Inversement, si Ω contient des boules de rayon arbitrairement grand (lorsque N ≤2 et Ω est finiment connexe, cela signifie exactement que l'inégalité de Poincaré n'a pas lieu), alors il existe toujours des solutions non bornées. De plus, si Ω = ℝN, il existe des solutions globales qui explosent en tout point en temps infini. Diverses propriétés qualitatives des solutions globales sont également obtenues.