Poincaré's inequality and global solutions of a nonlinear parabolic equation

Abstract

We study the equation $u_t-\Delta u=u^p-\mu |\nabla u{|}^q$, $t\ge 0$ in a general (possibly unbounded) domain $\Omega \subset R^N$. When $q\ge p$, we show a close connection between the Poincaré inequality and the boundedness of the solutions. To be more precise, if $q>p$ (or $q=p$ and $\mu$ large enough), we prove global existence of all solutions for any domain $\Omega$ where the Poincaré inequality is valid. When $\mu$ is large enough, all solutions are bounded and decay exponentially to zero. Conversely, if $\Omega$ contains arbitrarily large balls (if $N<2$ and $\Omega$ is finitely connected, this means precisely that the Poincaré inequality does not hold), then there always exist unbounded solutions. Moreover, if $\Omega =R^N$, there exist global solutions which blow-up at every point in infinite time. Various qualitative properties of the solutions are also obtained.

Résumé

Nous étudions l'équation $u_t-\Delta u=u^p-\mu |\nabla u{|}^q$, $t\ge 0$ dans un domaine $\Omega \subset R^N$ général, éventuellement non borné. Lorsque $q\ge p$, nous montrons l'existence d'un lien étroit entre l'inégalité de Poincaré et le caractère borné des solutions. Plus précisément, si $q>p$ (ou si $q=p$ et $\mu$ est assez grand), nous prouvons l'existence globale de toutes les solutions, dans tout domaine $\Omega$ ou l'inégalité de Poincaré est vérifiée. Lorsque $\mu$ est suffisamment grand, toutes les solutions sont bornées et tendent exponentiellement vers zéro. Inversement, si $\Omega$ contient des boules de rayon arbitrairement grand (lorsque $N<2$ et $\Omega$ est finiment connexe, cela signifie exactement que l'inégalité de Poincaré n'a pas lieu), alors il existe toujours des solutions non bornées. De plus, si $\Omega =R^N$, il existe des solutions globales qui explosent en tout point en temps infini. Diverses propriétés qualitatives des solutions globales sont également obtenues.