Proof of the De Gennes formula for the superheating field in the weak κ limit

Abstract

In continuation with our preceding paper [3] concerning the superconducting film, we present in this article new estimates for the superheating field in the weak κ limit. The principal result is the proof of the existence of a finite superheating field $h^{sh,+}(\kappa )$ (obtained by restricting the usual definition of the superheating field to solutions of the Ginzburg-Landau system $(f,A)$ with $f$ positive) in the case of a semi-infinite interval. The bound is optimal in the limit $\kappa \to 0$ and permits to prove (combining with our previous results) the De Gennes formula

The proof is obtained by improving slightly the estimates given in [3] where an upper bound was found but under the additional condition that the function $f$ was bounded from below by some fixed constant $\rho >0$.

Résumé

Poursuivant notre étude précédente [3] sur les films supraconducteurs, nous présentons dans cet article de nouvelles estimations sur le champ de surchauffe lorsque $\kappa$ tend vers $0$. Le résultat principal est la démonstration, dans le cas d’un intervalle semi-infini, de l’existence d’un champ de surchauffe fini $h^{sh,+}(\kappa )$ (obtenue en restreignant la définition usuelle du champ de surchauffe aux solutions $(f,A)$ du système de Ginzburg–Landau telles que $f$ soit positive). La majoration est optimale à la limite $\kappa \to 0$ et permet de montrer (en regroupant avec nos résultats précédents) la formule de De Gennes

La démonstration est obtenue en améliorant légèrement les estimations de l’article [3] dans lequel nous donnions une majoration, mais en supposant la fonction $f$ minorée par une constante $\rho >0$ fixée.