The modulational regime of three-dimensional water waves and the Davey–Stewartson system

Abstract

Nonlinear modulation of gravity-capillary waves travelling principally in one direction at the surface of a three-dimensional fluid leads to the Davey–Stewartson system for the wave amplitude and the induced mean flow. In this paper, we present a rigorous derivation of the system and show that the resulting wavepacket satisfies the water wave equations at leading order with precise bounds for the remainder.

Key steps in the analysis are the analyticity of the Dirichlet–Neumann operator with respect to the surface elevation that defines the fluid domain, precise bounds for the Taylor remainders and the description of individual terms in the Taylor series as pseudo-differential operators and their estimates under multiple scale expansions.

Résumé

La modulation nonlinéaire d’ondes se propageant principalement dans une direction à la surface d’un canal tridimensionnel conduit au système de Davey–Stewartson pour l’amplitude de l’onde et le champ moyen induit. Dans cet article, nous présentons une dérivation rigoureuse du système et nous montrons que l’approximation modulationnelle satisfait les équations des ondes de surface à l’ordre dominant.

Les étapes importantes dans l’analyse sont l’analyticité de l’opérateur de Dirichlet–Neumann par rapport à l’interface qui définit le domaine du fluide, des estimations du reste dans le développement de Taylor de l’opérateur, ainsi que la description des différents termes de la série comme opérateurs pseudo-differentiels et leurs développements multi-échelles.