Generic properties of singular trajectories

Abstract

Let $M$ be a $\sigma$-compact $C^{\infty }$ manifold of dimension $d\ge 3$. Consider on $M$ a single-input control system : $\dot{x}(t)=G_0(x(t))+u(t)F_1(x(t))$, where $F_0$, $F_1$ are $C^{\infty }$ vector fields on $M$ and the set of admissible controls $U$ is the set of bounded measurable mappings $u:[0,T_u]\mapsto \mathbf{R}$, $T_u>0$. A singular trajectory is an output corresponding to a control such that the differential of the input-output mapping is not of maximal rank. In this article we show that for an open dense subset of the set of pairs of vector fields $(F_0,F_1)$, endowed with the $C^{\infty }$-Whitney topology, all the singular trajectories are with minimal order and the corank of the singularity is one.

Résumé

Soit $M$ une variété $C^{\infty }$, à base dénombrable et un système mono-entrée sur $M:\dot{x}(t)=F_0(x(t))+u(t)F_1(x(t))$, où $F_0$ et $F_1$ sont des champs de vecteurs $C^{\infty }$, la classe des contrôles admissibles $U$ étant l’ensemble des applications $u:[0,T_u]\mapsto \mathbf{R}$, $T(u)>0$, mesurables et bornées. L’objet de cette note est de montrer que pour un ensemble ouvert et dense de couples de champs de vecteurs $(F_0,F_1)$, pour la topologie $C^{\infty }$ de Whitney, toutes les trajectoires singulières sont d’ordre minimal et la singularité est de codimension un.